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O físico alemão Albert Einstein (1879-1955) é um gênio famoso. Sua imagem nos é familiar. Sua Teoria da Relatividade é célebre. Mas, sem as ideias de três matemáticos do século 19, essa que é a principal teoria de Einstein simplesmente não funcionaria.
A matemática é a chave para entender o universo físico. Como disse o filósofo italiano Galileu Galilei certa vez, sem o farol criado por essa ciência, estaríamos dando voltas em um labirinto escuro.
Matemáticos pioneiros deram a Einstein um mapa para navegar pelo labirinto mais escuro de todos: o tecido do Universo. János Bolyai, Nikolái Lobachevski e Bernhard Riemann criaram novas geometrias que nos levaram a mundos estranhos e flexíveis.
“Einstein era um bom matemático intuitivo e teve um pouco de problema com essas ideias, mas sabia o que queria. Quando viu o que Riemann havia feito, soube que era isso”, disse o físico teórico Roger Penrose à BBC.
Teorias de Euclides em xeque
Durante 2 mil anos, os axiomas consagrados no grande trabalho de geometria “Os elementos”, de Euclides, foram aceitos como verdades matemáticas absolutas e inquestionáveis.
A geometria de Euclides nos ajudou a navegar pelo mundo, construir cidades e nações, dando ao ser humano o controle sobre seu entorno.
Mas, na Europa, em meados do século 19, surgiu uma crescente inquietação em relação a algumas ideias de Euclides. Os matemáticos começaram a questionar se poderia haver outro tipo de geometria que ele não havia descrito, geometrias nas quais os axiomas de Euclides podiam ser falsos.
É difícil dizer o quão radical era essa sugestão. Tanto que um dos primeiros matemáticos a contemplar essa ideia, o alemão Carl Frederick Gauss, relutava em falar sobre o tema, apesar de ser considerado, neste momento, um Deus no mundo matemático.
Tinha uma reputação impecável. Poderia ter dito qualquer coisa que a maioria dos matemáticos teria acreditado, mas se manteve em silêncio: não compartilhou com ninguém sua suspeita de que o espaço pudesse ser disforme.
‘Descobertas radicais’
Enquanto isso, na Hungria, Farkas Bolyai, outro matemático, também contemplava cenários em que a geometria de Euclides poderia ser falsa.
Bolyai havia estudado com Gauss na Universidade de Göttingen, na Alemanha, e voltado para sua casa na Transilvânia, na Romênia, onde havia passado anos lutando sem sucesso com a possibilidade de novas geometrias. Esse esforço o havia quase destruído.
“Viajei para além de todos os recifes desse infernal Mar Morto e sempre voltei com os mastros e velas danificados. Arrisquei sem pensar toda minha vida e felicidade.”
Em 1823, recebeu uma carta do filho, também matemático, que estava com seu batalhão do Exército em Timisoara.
“Meu querido pai, tenho tantas coisas sobre as quais te escrever a respeito de minhas novas descobertas, que não posso fazer outra coisa que escrever essa carta, sem esperar sua resposta à minha carta anterior, e talvez não deveria fazê-lo, mas encontrei coisas lindas, que até a mim me surpreenderam, e seria uma pena perdê-las; meu querido pai verá e saberá, não posso dizer mais, apenas que do nada criei um mundo novo e estranho.”
O filho de Farkas Bolyai, János, havia descoberto o que chamou de “mundos imaginários”; mundos matemáticos que não satisfaziam os axiomas de Euclides, que pareciam ser completamente consistentes e sem contradições.
Bolyai escreveu imediatamente para o amigo Gauss contando as emocionantes descobertas que seu filho havia feito. Na sequência, Gauss enviou uma carta a um colega, elogiando o pensamento brilhante do jovem matemático.
“Recentemente, recebi da Hungria um pequeno artigo sobre a geometria não-euclidiana. O escritor é um jovem oficial austríaco, filho de um dos meus primeiros amigos. Considero o jovem geômetra J. Bolyai um gênio de primeira classe.”
Mas, na carta que escreveu a Bolyai, o tom foi bem diferente:
“Se começasse dizendo que não posso elogiar este trabalho, certamente ficaria surpreso por um momento. Mas não posso dizer o contrário. Elogiá-lo seria elogiar a mim mesmo. De fato, todo o conteúdo da obra, o caminho tomado por seu filho, os resultados aos quais se dirige, coincidem quase completamente com as minhas reflexões, que ocuparam parcialmente a minha mente nos últimos 30 ou 35 anos.”
O jovem János ficou completamente inconsolável. Seu pai tentou confortá-lo: “Certas coisas têm sua época, quando se encontram em locais diferentes, como a primavera quando as violetas florescem em todas as partes”.
Apesar do incentivo do pai para publicar, János Bolyai não escreveu suas ideias até alguns anos depois. Foi tarde demais.
Ele descobriu pouco depois que o matemático russo Nikolái Lobachevski havia publicado ideias muito similares, dois anos antes dele.
Além das três dimensões
As geometrias radicais de Bolyai e Lobachevski estavam confinadas a nosso universo tridimensional.
Mas foi um aluno de Gauss, na Universidade de Göttingen, que levou essas novas geometrias para uma direção ainda mais exótica.
Bernhard Riemann era um matemático tímido e brilhante, que sofria de problemas de saúde bastante sérios. Um dos seus contemporâneos, Richard Dedekind, escreveu sobre ele:
“Riemann está muito infeliz. Sua vida solitária e seu sofrimento físico o tornaram extremamente hipocondríaco e desconfiado de outras pessoas e de si mesmo. Ele fez as coisas mais estranhas aqui só porque acredita que ninguém pode aguentá-lo”.
Em sua solidão, Riemann estava explorando os contornos dos novos mundos que havia construído.
No verão de 1854, o introvertido Riemann enfrentou um grande obstáculo para poder se tornar professor na Universidade de Göttingen: teve que dar uma palestra pública na Faculdade de Filosofia. O departamento escolheu o tema: “Sobre as hipóteses que se encontram na base da geometria”.
Assim, ele se viu forçado a apresentar no dia 10 de junho as ideias radicais que havia formulado sobre a natureza da geometria. Na plateia, estava, entre outras pessoas, seu professor, Carl Frederick Gauss, campeão de matemática da época.
Ele mostrou aos matemáticos presentes como ver em quatro, cinco, seis ou mais dimensões, inclusive em N dimensões. Descreveu formas que só podiam ser vistas com as mentes dos matemáticos e as fez tão tangíveis para quem as escutava, como os objetos 3D são para a maioria das pessoas.
Se você não é matemático, há um lugar em que você pode experimentar algo próximo da quarta dimensão: o Grande Arco de La Défense, em Paris, criado pelo arquiteto Johan Otto von Spreckleson.
É um cubo de quatro dimensões no coração de uma Paris tridimensional, uma estrutura absolutamente impressionante pela qual poderiam passar as torres da Catedral de Notre Dame.
Mas mais surpreendente ainda é o poder da ideia que representa. Um supercubo no meio da capital francesa, com 16 esquinas, 32 bordas e 24 faces… extraordinário!
O arquiteto abriu para todos nós uma porta para outro mundo. Mas, para compreender realmente a vida além de três dimensões, se faz necessária a revolucionária matemática de Riemann.
Inspiração para Einstein
Cinco anos após a célebre conferência de 1854, as ideias de Riemann viraram realidade.
Einstein estava tentando contemplar a estrutura do espaço quando se deparou com as teorias curvas do espaço N-dimensional desenvolvidas por Riemann.
“A princípio, ele não gostou. Pensou: ‘Os matemáticos complicam tanto a vida!'”, destaca o físico Roger Penrose.
“Mas ele logo soube que era o prisma certo, e era absolutamente crucial, porque essa geometria quadridimensional se enquadrava nas outras três dimensões, e Einstein se deu conta que poderia generalizá-lo da mesma maneira com que Reimann havia generalizado a geometria euclidiana ao torná-la curva.”
Usando a matemática de Riemann, Einstein promoveu um avanço extraordinário sobre a natureza do Universo: o tempo, ele descobriu, era a quarta dimensão.
A nova geometria de Riemann permitiu unificar espaço e tempo. E as estranhas geometrias curvas pensadas pela primeira vez por Gauss, descritas por Bolyai e Lobachevsky e generalizadas por Riemann, o ajudaram a resolver a relatividade.
Ao medir a distância entre dois pontos no espaço-tempo usando a geometria de Euclides, surgem diversos paradoxos preocupantes. Mas, quando se utiliza as geometrias não-euclidianas de Bolyai e Lobachevsky, os paradoxos se dissolvem.
As geometrias destes matemáticos do século 19 foram a chave para a criação da Teoria da Relatividade. Essas ideias traçaram o mapa para navegar na estrutura do espaço e do tempo.